La méthode des trapèzes
La méthode des trapèzes est une technique couramment utilisée en mathématiques pour approcher l'intégration d'une fonction non intégrable de manière exacte. Cette méthode est également connue sous le nom de règle du trapèze et elle est similaire à la méthode des rectangles. Cependant, elle a l'avantage d'être plus précise que la méthode des rectangles.
Principe de la méthode des trapèzes
La méthode des trapèzes est basée sur le principe de diviser le domaine d'intégration en plusieurs trapèzes et d'approximer l'intégrale comme la somme des aires de ces trapèzes. Le trapèze est un quadrilatère qui possède deux côtés parallèles.
Le principe de la méthode des trapèzes est facile à comprendre. On commence par diviser l'intervalle [a, b] en n segments égaux. Nous notons xi l'extrémité gauche de chaque segment, xi+1 l'extrémité droite et hi = xi+1 - xi la longueur de chaque segment.
La méthode des trapèzes approxime l'intégrale de la fonction f(x) sur l'intervalle [a, b] par la somme des aires de n trapèzes. Chaque trapèze a une base supérieure de longueur hi et une base inférieure de longueur h(i-1), où i varie de 1 à n. La hauteur de chaque trapèze est donnée par la différence entre les valeurs de la fonction de chaque extrémité, c'est-à-dire, f(xi) et f(xi+1).
Ainsi, la formule de la méthode des trapèzes est donnée par :
Tn = (h/2)[f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(x(n-1)) + f(xn)]
où h = (b - a)/n est le pas d'intégration.
La méthode des trapèzes est dérivée de la méthode de Riemann et elle est plus précise que la méthode des rectangles car elle prend en compte la variation de la fonction à l'intérieur de chaque intervalle.
Avantages et inconvénients de la méthode des trapèzes
La méthode des trapèzes est simple à utiliser et elle donne des résultats précis pour des fonctions régulières. Elle est également facile à implémenter et elle nécessite un minimum de calculs. C'est pourquoi elle est souvent utilisée dans les logiciels de calcul numérique.
Cependant, la méthode des trapèzes n'est pas adaptée pour des fonctions singulières ou discontinues. Elle peut également donner des résultats imprécis pour des fonctions qui ont une forte variation dans leur comportement. Dans ces cas-là, il est préférable d'utiliser d'autres méthodes numériques, telles que la méthode de Simpson ou la méthode de Gauss.
Applications de la méthode des trapèzes
La méthode des trapèzes est utilisée dans de nombreux domaines de la science et de l'ingénierie. Par exemple, elle est utilisée en physique pour calculer la masse d'un objet à partir de la mesure de sa densité. Elle est également utilisée en finance pour calculer le rendement d'un investissement. En génie électrique, elle est utilisée pour calculer l'impédance d'un circuit électrique.
Références
- Méthode des trapèzes - Wikipédia
- Comprendre la méthode des trapèzes (leçon) - Khan Academy
- Méthode des trapèzes (intégration approchée) - ChronoMath
- Performance et précision - Calcul approché d'intégrales • Tutoriels ...
- Calcul d'intégrale : méthode des trapèzes Algorithme - Lycée d'Adultes
- Méthode des trapèzes — Estimation de l'erreur - Blogdemaths
- Vidéo de la leçon : Intégration numérique : la méthode des trapèzes
[Analyse numérique] Calcul approché d'intégrales : méthode des ...
www.youtube.com/watch?v=yiv...[PDF] méthode des trapèzes Algorithme - Intégrale - Lycée d'Adultes
www.lyceedadultes.fr/sitepe...[PDF] METHODES D'INTEGRATION NUMERIQUE
elearn.univ-tlemcen.dz/mod/...